Die einfachste Beschreibung des mathematischen Arbeitsgebietes, die mir einfällt, lautet:
Mathematiker untersuchen die Regeln, die für das Zählen gelten.
Wir betrachten aus methodischer Sicht ganz allgemein Zusammenfassungen von Teilen zu einem Ganzen. Um den Sachverhalt auszusagen, dass ein bestimmtes Teil, das mit dem Symbol A bezeichnet ist, in einer elementaren Beziehung zu einer Zusammenfassung B steht, schreiben wir A € B. In der mathematischen Theorie wird streng darauf geachtet, dass Namen eindeutig sind. Wenn wir schreiben A € A, sprechen wir ein Objekt mit dem Namen A, an, von dem wir fordern, dass es sich bezüglich des Prädikates € auf sich selbst bezieht. Ein solches Objekt nennen wir rekursiv.
Der italienische Mathematiker Peano formulierte fünf Axiome, die dem Zählen zu Grunde liegen, einschließlich der Prinzipien für die vollständige Induktion und rekursive Definitionen.
Mit der Methode der vollständigen Induktion beweist man eine Aussage zunächst für eins, und muss dann unter der Voraussetzung, dass die Aussage für eine unbestimmte Zahl n richtig ist, die Gültigkeit für die nachfolgende Zahl n+1 zeigen.
Die rekursive Definition der Funktion Fakultät kann, dem Prinzip der vollständigen Induktion entsprechend, beispielsweise durch die Angaben 1! = 1 und (n+1)! = n! (n+1) erfolgen.
Wir geben nun ein Verfahren an, um Rechnungen mit ganzen Zahlen automatisch durchzuführen:
Fakultaet (n) {konst eins=1; tue F:=F*n; n:=n-1; wenn n>0 dann ruf Fakultaet (n) halt}
Man erkennt, dass das Verfahren Fakultaet rekursiv definiert ist. Die Leser mögen annehmen, dass die Fakulatät (1) = 1 ist, und den intutiven Anweisungen des Textes folgen, um den Wert Fakultaet (3) zu berechnen.
In den natürlichen Sprachen ist die Satzbildung durch die Regeln der Grammatik und durch den Wortschatz begrenzt. Für die Deutung der Inhalte bleibt jedem Menschen ein Spielraum.
An mathematische Formulierungen stellen wir die Bedingung, dass sie nur in einer eindeutigen Weise interpretiert werden können. Sie können auch nicht wahr und falsch zugleich sein. Andernfalls handelt es sich um leere Aussagen, das heißt es gibt keine Objekte, auf die die entsprechenden Aussagen angewendet werden können. Formal bezeichnen die leere Menge an Objekten mit einem leeren geschweiften Klammerpaar: {}.
Ausssagen können durch Verneinung gespiegelt werden. Die Leser mögen sich überzeugen, dass das folgende Verfahren eines indirekten Beweise siinvoll ist:
Wenn man beweisen kann, dass die Annnahme des Gegenteils zu einem Widerspruch führt, also nicht wahr ist, gilt damit der Beweis für die Richtigkeit der ursprünglichen Aussage als erbracht.
Wir demonstrieren die Technik des indirekten Beweises, um zu beweisen, dass die Menge der Primzahlen nicht endlich ist.
Wir verneinen die Voraussetzung, indem wir annehmen, dass die Menge der Primzahlen doch endlich sei. Wir bilden unter dieser Voraussetzung das Produkt P all dieser Zahlen und addieren eins hinzu. Nun zerlegen wir die Zahl (P + eins) in ihre Primfaktoren und sehen, dass keine unserer ursprünglichen Primzahlen als Faktor in Frage kommt, aondern die Existenz einer neuen Primzahl in Kauf zu nehmen ist. Dies steht im Widerspruch der Annahme.
Axiome sind mathematische Aussagen, die am Anfang einer Theorie stehen. Es wird die Forderung an sie geknüpft, dass durch logisches Kombinieren keine Widersprüche entstehen.
Zu Beginn des 20. Jahrhunderts geriet die Mathematik bei der Einführung des Mengenbegriffes in eine widersprüchliche Situation, die erst nach langem Nachdenken durch die nächste Mathematikergeneration behoben werden konnte.
Um den Begriff einer Menge und eines Gedankens mathematisch zu fassen, sprechen wir zunächst über Mengen in dem Sinne, wie sie der deutsche Mathematiker Cantor ursprünglich definieren wollte:
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohl unterscheidbaren Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen.
Der britische Mathematiker und Philosoph Russell fragte bei Cantor nach, ob die Zusammenfassung R aller Mengen, die dadurch gekennzeichnet seien, sich nicht selbst als Element zu enthalten, auch eine zulässige Mengenbildung sei. Des weiteren interessierte ihn, ob unter diesen Umständen das Objekt R in sich selbst enthalten wäre?
Der Leser überzeuge sich, dass es stets zu einem Widerspruch kommt, ganz gleich wie man letztere Frage beantwortet. R ist also die leere Menge.
In der angewandten Mathematik und anderen Wissenschaften, wie etwa in der Physik und in der Informatik, findet man die statische Orientierung der reinen Mathematik an der logischen Notwendigkeit durch das Postulat eines Zeitbegriffes und darauf begründeter zyklischer Prozesse relativiert.
Um wechselnde Zustände der Wahrheit in der reinen Mathematik zu vermeiden, musste man den konstruktiven Gedanken Cantors, wie eine Menge zu bilden sei, durch folgende Axiomatik ersetzen.
Das erste Axiom regelt, dass eine Menge nicht im Cantorschen Sinn als Zusammenfassung angesehen wird, sondern man fordert, dass ein Objekt M genau dann eine Menge ist, wenn es eine Klasse K gibt, so dass die Aussage M € K zutrifft.
Das zweite Axiom erlaubt die Zusammenfassung von Mengen zu Klassen, wenn gewährleistet ist, dass jedes Element einer Klasse einer wohldefinierten Menge entspricht.
Eine Menge U ist eine Untermenge von G, wenn jedes Element in U auch in G ist.
Wenn man eine bestimmte Menge kennt, dann kann man eine größere daraus konstruieren: Man bildet die Menge der Untermengen einer Grundmenge G. Als Ergebnis erhält man die Potenzmenge P(G).
Wir wollen den Inhalt unserer Mengen messen. Die Maßzahlen heißen Kardinalzahlen.
Der Leser möge sich überzeugen, dass die Kardinalzahl der Potenzmenge zwei hoch n ist, wenn die Grundmenge G endlich ist und n Elemente besitzt.
Wir definieren nun einige Verknüpfungen innerhalb der Potenzmenge:
A vereinigt mit B = { x: x € A oder x € B}
A geschnitten mit B = { x: x € A und x € B}
ohne A = {x: x € G und x nicht € A}
Diese Ergebnisse werden auch kurz als Vereinigung, Durchschnitt und Differenz der zu verknüpfenden Mengen bezeichnet.
Zeigen Sie erstens , dass folgende rekursiv definierten Objekte jeweils eine Menge bilden, und zweitens, dass auch die Zusammenfassung all dieser Obekte eine wohldefinierte Menge darstellt.
M(0) sei die leere Menge, und M(n+1) ist definiert als: M(n) vereinigt mit {M(n)}.
Wie stark das Wachstum durch Bildung der Potenzmenge ausfällt, wenn wir mit der leeren Menge beginnen, zeigen die ersten sechs Glieder der folgenden Zahlenreihe: null, eins, zwei, vier, sechzehn, fünfundsechzig tausend fünfhundert sechsunddreißig.
Durch Bildung der Potenzmenge unendlicher Mengen kommt man ebenfalls zu einer Menge, deren Kardinalzahl größer als die der Grundmenge ist.
In der mathematischen Forschung werden abzählbar unendliche Mengen von solchen mit größerer Kardinalzahl unterschieden. Man stellte die Frage, ob es zwischen zwei Kardinalzahlen eine dritte gibt. Als die Antwort in Form eines Beweises vorlag, war man etwas verwundert, denn es hatte sich herausgestellt, dass man, ohne in Widersprüche zu geraten, frei zwischen beiden Alternativen wählen kann.
Wir haben uns durch Russels Gegenbeispiel davon überzeugt, dass man als Mathematiker keineswegs frei ist, die Existenz beliebiger mathematischer Objekte zu postulieren. Wie wir an Hand der Potenzmenge sehen, besitzen wir gleichwohl ein Verfahren, um aus einer gegebenen Menge eine größere zu konstruieren. Das mathematische Denken verfügt damit über ein Mittel, um die Zahl der Objekte exponentiell zu steigern.
Um diesen Wachstumspfad sinnvoll zu nutzen, bedarf es eines Mittels, die Komplexität mathematischer Sachverhalte auf das Wesentliche zu konzentrieren. Zu diesem Zweck postulieren wir ein Verfahren, um ein einziges Element aus jeder Menge eines gegebenen Systems auszuwählen.
Aus dem Auswahlprinzip können wir herleiten, dass zu zwei Mengen A und B die Menge der geordneten Paare existiert, die wir mit A x B bezeichnen. Des weiteren ist das Lemma von Zorn, das die Existenz maximaler und minimaler Elemente garantiert, eine logische Konsequenz des Auswahlaxioms.
Der Kommentierung des Lemmas von Zorn seien einige wichtige Definitionen zur Präzisierung des Gesagten voraus geschickt:
Eine Teilmenge der Produktmenge A x B bezeichnen wir als Relation R. Anstelle von (a,b) € R kann man auch schreiben a R b.
Die Relation "gleich" ist für eine Menge A als die Menge aller Paare (x,x) € (A X A) definiert.
Eine Äquivalenzrelation "~" auf einer Menge M erfüllt die folgenden Regeln:
Reflexivität: x ~ x für alle x € M;
Symmetrie: aus x ~ y folgt y ~ x;
Transitivität: aus x ~ y und y ~ z folgt x ~ y.
Der Leser möge zeigen, dass die Relation "gleich " eine Äquivalenzrelation ist.
Weiterhin ist zu beweisen, dass durch eine Äquivalenzrelation eine Menge in Teilmengen zerfällt, die keine gemeinsamen Elemente besitzen.
Diese Teilmengen werden Äquivalenzklassen genannt.
Eine Abbildung von A nach B ist eine Relation f, die die folgende Bedingung erfüllt: (x f y und x f w ) => y gleich w. Die Menge f(A) = {y € B: es gibt ein x € A, so dass die Relation x f y gilt} bezeichnen wir als Bild (f) und {x € A: es gibt ein y € B, so dass die Relation x f y gilt} nennen wir das Urbild(f).
Eine Abbildung heißt injektiv genau dann, wenn aus x f y und z f y notwendig folgt, dass x gleich z ist.
Wir nennen eine Abbildung surjektiv genau dann, wenn es zu jedem y € B ein x mit x f y gibt.
Um die Voraussetzungen zu schaffen, das wichtige Lemma von Zorn zu formulieren - beweisen werden es nicht - müssen wir präzisieren, was wir als Ordnung im mathematischen Sinn verstehen wollen.
Eine Menge E ist teilweise geordnet, falls es eine Relation "ist kleiner oder gleich" zwischen den Elementen mit folgenden Eigenschaften gibt:
Reflexivität: a "ist kleiner oder gleich" a für jedes a € E.
Antisymmetrie: Aus a "ist kleiner oder gleich" b und
b "ist kleiner oder gleich" a folgt a=b.
Transitivität: Aus a "ist kleiner oder gleich" b und
b "ist kleiner oder gleich" c folgt a "ist kleiner oder gleich" c.
Ein Beispiel für eine Ordnung ist die Untermengenbeziehung in der Potenzmenge. Es wird nicht verlangt, dass alle Elemente miteinander vergleichbar sind. Ist das aber doch der Fall, sprechen wir von einer totalen Ordnung der Elemente. Die Menge der natürlichen Zahlen ist ein Beispiel für eine total geordnete Menge.
In einer teilweise geordneten Menge kann man Ketten mit Elementen bilden, die total geordnet sind.
Meine Leser mögen sich überzeugen, dass die Anzahl der Ketten einer Potenzmenge durch die Fakultät der Kardinalzahl der Grundmenge berechnet werden kann.
Das Lemma von Zorn besagt, dass eine teilweise geordnete Menge E, wobei jede Kette durch eine obere Schranke begrenzt wird, mindestens ein maximales Element besitzt .
Wir definieren nun eine Verknüpfung auf einer Menge M als Untermenge V des dreifachen Produktes M x M x M. Wenn das Tripel (a,b,c) in V ist, dann interpretieren wir das als (a verknüpft mit b) ist gleich c.
Eine Verknüpfung heißt assoziativ, wenn das Ergebnis eines Rechenausdrucks unabhängig davon ist, ob man mit dem Verknüpfen von vorn oder von hinten beginnt.
Eine Menge Zahlen wird Zahlenkörper genannt, wenn es assoziative Regeln für Addition und Multiplikation gibt.
Zusätzlich wird die Existenz zweier besonderer Elemente verlangt, die null und eins genannt werden. Null ist das neutrale Element bezüglich der Addition, und entsprechend soll sich eins neutral in Bezug auf die Multiplikation verhalten.
Aber das ist noch nicht alles an Regeln, denn für jedes Element der Zahlenmenge muss ein inverses existieren, so dass sich als die Summe der beiden das neutrale Element null ergibt. Ein inverses Element bezüglich der Multiplikation wird nur für Zahlen mit Ausnahme der Null verlangt. Wir notieren das multiplikative Inverse einer Zahl a als Stammbruch 1/a.
Ein Zahlenkörper muss noch drei weitere Regeln erfüllen: er muss nämlich kommutativ bezüglich der Addition und der Multiplikation sein, das heißt zum Beispiel für die Addition: (a plus b) ist gleich (b plus a).
Schließlich fordern wir das Distributivgesetz, das (a mal (b und c)) ist gleich (a mal b) und (a mal c) zu schreiben ist.
Um so interessanter ist es, dass man bereits aus den beiden Zahlen null und eins, die ein jeder Körper enthält, einen Zahlenkörper bilden kann. Wir notieren nun tabellarisch die Rechenregeln in diesem Körper:
+ null eins * null eins
null null eins null null null
eins eins null eins null eins
Als eine ganz leichte Aufgabe stelle ich meinen Lesern den Nachweis der Körperaxiome.
Ein algebraischer Körper besteht also aus einer Grundmenge an Zahlen und zwei verschiedenen Rechenarten. Nimmt man die Grundmenge eines Körpers und schränkt das Interesse auf eine der beiden Rechenarten ein, dann spricht man von der additiven beziehungsweise multiplikativen Gruppe eines Körpers.
Viele interessante Mengen, deren Eigenschaften man erforschen möchte, besitzen abweichend vom Körper kein inverses Element bezüglich der Multiplikation. Diese Objekte werden als Ringe bezeichnet.
Mit einer Spiegelung der positiven natürlichen Zahlen an null erhalten wir die ganzen Zahlen, die mit dem Buchstaben Z bezeichnet werden, als Beispiel für einen Ring. Ausgehend von dem Kreuzprodukt Z x Z der ganzen Zahlen mit sich selbst konstruieren wir in mehreren Schritten den Körper der rationalen Zahlen:
P = Z x (Z -{0}) als Menge von Paaren
Ich stelle meinen Lesern die Aufgabe, zu beweisen, dass die Äquivalenzklassen in P bezüglich der Relation "~" mit den beiden Operationen "+" und "*" die Rechenregeln eines Körpers erfüllen:
(a,b) ~ (c,d) genau dann wenn ad = bc;
[a,b] + [c,d] = [ad+bc,bd];
[a,b] * [c,d] = [ac,bd].
Im nächsten Schritt werden wir mathematische Definitionen der Begriffe Umgebung und Maß vornehmen und werden dazu die Eigenschaften gewisser Teilmengen der Potenzmenge P einer Grundmenge G betrachten.
Das folgende Beispiel mag den Leser dazu motivieren, der Darlegung der Theorie weiter zu folgen. Es soll zeigen, dass die erste Wahl einer Entscheidung manchmal nicht die beste ist, vor allem dann nicht, wenn neue Information ins Spiel kommt.
Es gilt eine Losnummer zu bestimmen, deren Zahlenwert gleich verteilt eins, zwei oder drei sein kann. Nachdem eine Testperson eine Zahl genannt hat, erhält sie zusätzliche Information, indem der Versuchsleiter eine beiden nicht genannten Zahlen ausschließt. Er fragt dann die Testperson, ob sie ihre Auswahl ändern möchte.
In dem Fall, dass die Testperson beim ersten Mal richtig geraten hat, kann der Versuchsleiter nach Belieben eine von zwei Zahlen nennen. Daraus lässt sich keine nützliche Information ableiten.
Im komplementären Fall liegt die Zahl aber genau fest, die auszuschließen ist. Der in der Antwort des Versuchsleiters enthaltene Informationswert beträgt ein Bit.
Wir betrachten nun die Erfolgsaussichten der weiteren Vorgehensweise, nämlich "nicht wechseln" oder "wechseln".
Die erste Strategie ist genau dann erfolgreich, wenn bereits beim ersten Tipp die richtige Zahl geraten wurde. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt 1/3. Im zweiten Fall gewinnt man mit der komplementären Wahrscheinlichkeit also 2/3, wenn man gemäß der Zusatzinformation eine neue Zahl wählt. Das ist natürlich die Losnummer, die übrig bleibt, wenn man die Zahl, die der Kandidat zuerst getippt hat, und diejenige, die ausgeschlossen wurde, gestrichen hat.
Den ganzzahligen Informationswert einer Nachricht hat der amerikanische Informatiker Shannon durch die minimale Anzahl der mit "ja" oder "nein" zu beantwortenden Fragen definiert, die erforderlich sind, um den Inhalt der Nachricht logisch zu erschließen.
Meine interessierten Leser mögen die folgenden Aufgaben lösen:
Welchen Informationswert besitzt ein normales Geburtstagsdatum mit Angabe des Tages und des Monats? Wie sieht es im Fall des 29. Februars aus?
Bestimmen Sie den Informationswert in Bit der folgenden Aussage: "In einem Dutzend Schrauben befindet sich eine mit einem von der Norm abweichenden Gewicht."
Wir fahren nun mit der abstrakten Theorie fort und fragen nach Eigenschaften, die für eine Messung der Distanz zweier Orte gelten sollten:
Erstens sollte die Distanz eines Punktes zu sich selbst den Wert null aufweisen. Zweitens sollte die Messung symmetrisch sein. Als dritte Forderung an eine vernünftige Definition einer Entfernung wird man akzeptieren, dass der direkte Weg zwischen zwei Punkten nicht länger sein darf als ein Umweg über einen dritten.
Eine Abstandsdefinition, die diese drei Kriterien erfüllt, nennen wir Metrik.
Zu einem Konzept der Entfernungsmessung mit den genannten Eigenschaften gibt es bei gegebener M enge meistens mehrere Möglichkeiten, wie in der Realität auch.
Bemerkenswert ist, dass jede beliebige Menge mindestens mit zwei verschiedenen Metriken versehen werden kann, nämlich ganz einfach, indem man die Distanz d(x,y) zwischen zwei Punkten entweder stets gleich null setzt, oder vereinbart, dass d(x,y) den Wert null besitzt, wenn x gleich y ist, und bei Ungleichheit der Wert eins vergeben wird. Im ersten Fall erhält man die die indiskrete Topologie und im zweiten Fall die diskrete Topologie, wenn man die Kreise der Punkte als Nachbarschaften betrachtet. Zu einem Kreis mit dem Mittelpunkt m und dem Radius r gehören alle Punkte, deren Entfernung von m kleiner als r ist. Damit wären die extremen Kandidaten charakterisiert.
Es ist nicht allzu schwierig zu beweisen, dass die Definition d(x,y) = x-y,wenn x größer oder gleich y ist, und d(x,y) = y-x im anderen Fall, eine Metrik auf dem Körper der rationalen Zahlen definiert.
Aus praktischer und mathematischer Sicht viel interessanter erweist sich eine Messung der Entfernung, die auf der Basis einer Triangulation eines Gebietes, also einer Zelegung in Dreiecke, erfolgt. Diese Metrik angewandt auf einen begrenzten Teil der Erdoberfläche ist als euklidischer Abstand bekannt geworden.
Als offenen Kreis in Bezug auf eine Metrik bezeichnen wir die Menge der Punkte, deren Entfernung von dem Mittelpunkt kleiner als ein Zahl r ist.
Wir werden nun das Konzept der Nähe, das durch Metriken erzeugt wird, verallgemeinern, indem wir die Elemente einer Teilmenge der Potenzmenge einer Grundmenge G als offene Nachbarschaften oder Umgebungen auszeichnen.
Wir sprechen von einer solchen Teilmenge als Topologie T, wenn folgende Regeln erfüllt sind:
1. Die leere Menge und G sind Elemente von T.
2. A und B seien Elemente von T. Dann verbleiben die Mengenoperationen Vereinigung und Durchschnitt angewandt auf A und B innerhalb von T.
3. Durchschnitte dürfen nur in endlicher Anzahl erfolgen.
Die Vereinigung offener Nachbarschaften kann in beliebiger Anzahl erfolgen. Als Anzahl bezeichnen wir in diesem Kontext die Kardinalzahl der Teilmenge von T, die die zu vereinigenden Mengen enthält.
Die Komplemente offener Mengen bezüglich einer bestimmten Topologie bezeichnen wir in demselben topologischen Kontext als abgeschlossen. Die Mengendifferenz zwischen einer abgeschlossenen und ihrer offenen Umgebung heißt der topologische Rand.
Es zeigt sich, dass nicht jede Topologie aufgrund einer Metrik erzeugt wird.
Drei Mathematiker, nämlich der Amerikaner Bing, der Russe Smirnov und der Japaner Nagata, gaben eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, dass eine Topologie von einer Metrik stammt.
Der erste Teil der Bedingung sagt aus, dass offene Nachbarschaften lokal aus höchstens abzählbar vielen Elementen durch Bildung der Vereinigung und des Durchschnittes erzeugt werden können, und der zweite Teil fordert gewisse Trennungseigenschaften der zu metrisierenden Topologie, die wir nun skizzieren:
Die Minimalforderung - das ist die Eigenschaft null der Trennbarkeit zweier Elemente der Grundmenge - impliziert, dass eines der beiden eine offene Umgebung besitzt, die das andere Element ausschließt.
Wenn diese Bedingung symmetrisch erfüllt ist, liegt die erste Trennbarkeitstufe vor.
In der zweiten Stufe, in einem Hausdorff-Raum, müssen für jedes Paar von Punkten Nachbarschaften mit leerem Durchschnitt existieren.
Will man auch abgeschlossene Mengen -das sind die Komplemente offener Mengen - von einzelnen Elementen des Grundraumes trennen, so kommt man zum dritten Trennungsaxiom, und schließlich zum vierten, wenn je zwei abgeschlossene Mengen durch offene Umgebungen trennbar sein sollen.
Die zweite Bedingung für die Metrisierbarkeit einer Topologie im Sinne von Bing, Nagata und Smirnov ist genau dann erfüllt, wenn die Topologie die Kriterien der dritten Trennungsstufe erfüllt.
Das Teilgebiet Topologie innerhalb der Mathematik hat sich als eine Erweiterung der mathematischen Theorie erwiesen, mit dem die Grenzen der Berechenbarkeit ausgelotet werden können.
Die mathematische Forschung kann bei allgemeinen topologischen Betrachtungen deshalb nur begrenzt durch das Rechnen mit endlichen Mengen an Zahlen nach der Art eines Computers unterstützt werden.
Neuronale Netze vernetzen eine endliche Anzahl Neuronen. Was geschieht, wenn die Ergebnisse eines solchen Netzes - das sind die stabilen Zustände, zu denen es tendiert -mit einer Unschärfe versehen werden?
Bevor wir eine mathematische Antwort formulieren können, bedarf es einiger Definitionen.
Ein nützlicher topologischer Begriff ist die Stetigkeit:
Für die Stetigkeit einer Abbildung f von dem topologischen Raum (X,U) nach (Y,V) wird verlangt, dass für jede offene Nachbarschaft N eines Bildpunktes y=f(x) in Y eine offene Nachbarschaft M um den Punkt x in X existiert, so dass f(M) in N enthalten ist.
Für Topologien auf einer Menge ist die Teilmengenbeziehung eine Ordnungsrelation. Anstelle von größer oder kleiner sind die Adjektive feiner oder gröber in der Mathematik üblich.
Der Leser möge herausfinden, wie bei einer gegebenen Abbildung g von A nach B die Topologien gestaltet werden müssen, damit man g als stetig bezeichnen kann.
Verallgemeinern Sie Ihr Ergebnis auf den Fall, dass nicht nur eine Abbildung stetig gemacht werden soll, sondern eine Menge F, die mehrere Abbildungen enthält.
Eine Abbildung g von der Menge der natürlichen Zahlen auf einen topologischen Raum X bezeichnen wir als Folge.
Wir sagen, dass in einem Hausdorffraum, wenn also die zweite Trennbarkeitstufe erfüllt ist, die Folge g zu dem Grenzwert a in X konvergiert, wenn in jeder offenen Nachbarschaft des Punktes a alle Glieder der Folge mit der möglichen Ausnahme einer endlichen Anzahl enthalten sind.
Unsere Definition der Konvergenz setzt die Bekanntheit des Grenzwertes voraus. Wir zeigen jetzt, dass man in einem metrischen Raum auch ohne diese Information zu demselben Konvergenzbegriff kommt:
Eine Cauchy-Folge ist eine Abbildung g der Menge der natürlichen Zahlen in einen Raum X, dessen Topologie von einer Metrik d erzeugt wird, wenn es zu jeder natürlichen Zahl m eine Zahl n gibt, so dass der Abstand der Glieder mit Urbildern größer als m kleiner als 1/n ist.
Eine Folge, die in einem Körper zu dem Punkt null konvergiert, nennen wir Nullfolge.
Der Leser möge zeigen, dass durch die Klassen der folgend definierten Äquivalenzrelation auf der Menge der rationalen Cauchy-Folgen eine Erweiterung der rationalen Zahlen darstellt. Die Zahlen des erweiterten Körpers R nennen wir reell.
Zwei Folgen sind äquivalent, wenn die Differenzfolge eine Nullfolge darstellt.
Meine Leser mögen erstens beweisen, dass die rekursiv definierte Folge r mit dem Anfangsglied q und der Rechenformel (a + q/a))/2 für das jeweils folgende Glied zu der reellen Zahl, die wir Wurzel aus q nennen, konvergiert,
zweitens zeigen, dass es eine injektive Abbildung der rationalen Zahlen in die reellen gibt. Ordnen Sie zu diesem Zweck einer rationalen Zahl p die konstante Folge (p,p,p,...) zu
und sich drittens davon überzeugen, dass zu zwei Cauchy-Folgen f und g die Summe f+g und für jede rationale Zahl q die Produkte qf konvergieren.
Wenn für einen Zahlenkörper K und eine Menge V die in der dritten Aufgabe vorgenommenen Voraussetzungen, erfüllt sind, nennen wir V einen Vektorraum über dem Körper K.
Wir schauen uns nun etwas kompliziertere Folgen an, nämlich die Folge t der endlichen Teilsummen einer gegebenen Folge g.
Für die konstante Folge (1/p 1/p,1/p,...) erhalten als n-te Teilsumme pn(n+1)/2.
Meine Leser mögen zeigen, dass sich bei einer geometrischen Folge (p, p²,p³,...) die Teilsummen (1 - p hoch n)/(1 - p) ergeben.
Des weiteren berechnen Sie den Grenzwert für die folgenden Fälle: p kleiner als eins, p größer oder gleich eins.
Sehr schwierig ist es, nachzuweisen, dass der Grenzwert pi²/6 für die reziprok quadratische Reihe (1 + 1/4 + 1/9 + ... ) gilt.
Der Körper der reellen Zahlen R wird als topologisch vollständig bezeichnet, weil er lückenlos in Bezug auf die Konvergenz unendlicher Folgen ist.
Als abgeschlossene Mengen haben wir die Komplemente offener Mengen bezüglich einer Topologie bezeichnet . Natürlich kann eine Menge zugleich offen und abgeschlossen sein. In diesem Fall sprechen wir von einem Raum, der nicht zusammen hängt.
Man kann für jede beliebige Menge M den Abschluss und das Innere definieren, wobei das Innere die größte offene Menge ist, die in M enthalten ist, und der Abschluss die kleinste abgeschlossene Menge darstellt, die M umfasst.
Algebraische Vollständigkeit bedeutet etwas anderes als die topologische, nämlich dass genügend Zahlen in einem Zahlenkörper vorhanden sind, um Gleichungen mit Variablen zu lösen.
In den reellen Zahlen besitzt die Gleichung x² + 1 = 0 mit der Variablen keine Lösung. Es fehlt die Wurzel aus minus eins in der Menge der reellen Zahlen.
Meinen Lesern stelle ich die Aufgabe zu beweisen, dass auf der Basis des Kreuzproduktes R x R mit folgenden Verknüpfungen eine Körpererweiterung von R existiert, in der die vorstehende Gleichung gelöst werden kann.
(a,b) + (c,d) = (a+b, c+d) und (a,b) * (c,d) = (ac-bd, ad + bc).
Den erweiterten Körper, den wir soeben aus den reellen Zahlen konstruiert haben, nennen wir C. Er wird sich als algebraisch und topologisch vollständig erweisen.
Man möge beweisen, dass diese Erweiterung als Vektorraum der Dimension zwei über dem Körper der reellen Zahlen verstanden werden kann.
Als die Dimension eines Vektorraumes über einem Körper verstehen wir die minimale Kardinalzahl einer Menge erzeugender Elemente des Vektorraumes. Bei der Erzeugung dürfen die beiden im Vektorraum definierten Operationen in endlicher Kombination auf die Erzeugenden angewandt werden.
Mit den komplexen Zahlen haben wir ausgehend von den Peano-Axiomen einen Zahlenkörper konstruiert, der in Bezug auf die Konvergenz von Cauchy-Folgen - das sind "zahme" Zahlenfolgen, die sich fast immer innerhalb vorgebbarer Grenzen bewegen - und die Lösung von Gleichungen endlichen Grades vollständig ist.
Dürfen wir als Mathematiker noch mehr verlangen, zum Beispiel in Form eines topologischen Raumes, der den komplexen Zahlenkörper enthält, wo zum Beispiel die Folge der natürlichen Zahlen gegen einen geometrisch klar definierten Punkt konvergiert, den wir unendlich nennen?
Oder dürfen wir statt endlicher vieler unbekannter Variablen auch unendlich viele verwenden, wenn wir ein Gleichungssystem aufstellen?
Wir nennen einen topologischen Raum kompakt, wenn die Topologie das zweite Trennungsaxiom erfüllt, und aus einer jeden Menge offener Umgebungen, die den ganzen Raum überdecken, endlich viele ausgewählt werden können, die bereits die Überdeckung gewährleisten.
Der topologische Raum mit den Eigenschaften, die in der ersten Frage angesprochen wurden, wurde von dem russischen Mathematiker Alexandrov durch Hinzunahme eines Punktes als Kompaktifizierung der komplexen Ebene definiert.
Es ist die zweidimensionale Sphäre. Wählt bei einer mit dem Südpol den Koordinatenursprung der komplexe Ebene berührenden Sphäre mit dem Radius eins, den Strahl vom Nordpol zu einer beliebigen komplexen Zahl, so erhält man den Bildpunkt dieser Zahl durch den Schnittpunkt des Strahls mit der Sphäre. Die beschriebene Abbildung ist als stereografische Projektion bekannt. Man erkennt sogleich, dass der Nordpol als hinzugefügter Punkt keinen Projektionspunkt in der komplexen Zahlenebene besitzt. Er entspricht also dem Punkt unendlich.
Meine Leser mögen den Beweis erbringen, dass die Sphäre als Erweiterung der komplexen Ebene mit der natürlichen Topologie, die von der Metrik induziert wird, kompakt ist. Tipp: Schauen Sie auf die Umgebungen des Nordpols und korrelieren Sie sie mit den Umgebungen des Koordinatenanfangs in der komplexen Ebene.
Die zweite Frage zielt auf Potenzreihen als Objekte mit unendlich vielen Koeffizienten, die zu bestimmen sind.
Dass ein solches System mit einer Gleichung überhaupt gelöst werden kann, sieht man zum Beispiel an der Reihe, mit der der deutsche Mathematiker Leibniz die Zahl pi berechnete: pi/4 = 1- 1/3 + 1/5 -1/7+....
Als nützliche Beobachtung erweist es sich, dass formale Potenzreihen als Abbildungen der natürlichen Zahlen in die Menge der komplexen Zahlen gesehen werden können. Die Menge der Potenzmenge bildet einen Vektorraum.
Nimmt man, beginnend bei null, als Koeffizienten einer Potenzreihe die multiplikativ ínversen Elemente der Fakultäten, also 1/( k! ), so erhält man eine Definition der Exponentialfunktion, für die wir die Abkürzung exp benutzen.
Zeigen Sie bitte, dass diese Potenzreihe beim Einsetzen beliebiger komplexer Zahlen z konvergiert.
Meine Leser mögen dann zeigen, dass die Exponentialfunktion die reelle Achse auf sich selbst abbildet, und sie mögen sich schließlich davon überzeugen, dass die imaginäre Achse der komplexen Ebene auf den Rand des Kreises um den Koordinatenursprung mit dem Radius eins abgebildet wird.
Wir folgern, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv ist.
Den Achsensymmetrien der komplexen Zahlenebene entsprechend nutzen wir die Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion , um die trigonometrischen Funktionen sin und cos, sowie deren hyperbolische Varianten zu definieren:
sin(z) = (exp(i z) + exp(-i z)) / 2 i
cos(z) = (exp (i z) - exp(-i z)) / 2
sinh(z) = (exp(z) + exp(-z)) / 2
cosh(z) = (exp (z) - exp(-z)) / 2
Der Graf der Funktion cosh ist, auf der reellen Achse betrachtet, als Kurve einer Kettenlinie bekannt.
Eine lineare Abbildung L der Vektorräume von V nach W, beide über dem Körper K, erfüllt die folgenden Regeln:
L(x + y) = L(x) + L(y) für je zwei Vektoren aus V und
L(ax) = a L(x) für ein a aus dem Körper und einen Vektor x aús V.
Meine Leser mögen zeigen, dass durch ein Gleichungssystem eine lineare Abbildung definiert wird.
Man zeige, dass die Menge der linearen Abbildungen zwischen den Räumen V und W, die wir mit L(V,W) bezeichnen, ein Vektorraum über K der Dimension n*m ist, wenn n und m endliche Dimensionszahlen für V und W sind.
Das letzte Ergebnis spezialisiere man auf den Fall, dass W = K ist.
Des weiteren stellt L(V,W) einen Ring mit nicht kommutativer Multiplikation dar. Sind zwei Elemente x,y aus L(V,W) gegeben, dann kann sich zum Beispiel für die Form x°y - y°x interessieren.
Da das Rechnen mit linearen Abbildungen besonders einfach ist, ist es aus der Sicht der Anwendung der mathematischen Theorie sinnvoll, kompliziertere Funktionen durch lineare Abbildungen lokal zu approximieren.
Der deutsche Mathematiker Leibniz und der englische Physiker Newton haben gleichzeitig, aber unabhängig voneinander, verschíedene Wege gefunden, um diese Theorie zu begründen. Newton entwickelte die Theorie mit der Absicht, die Bewegung der Himmelskörper zu berechnen, während Leibniz die Theorie allgemeiner vom Ansatz der mathematischen Grenzwertbildung her betrachtete.
Um eine Funktíon durch eine lineare Abbildung L näherungsweise zu bestimmen, wird gefordert, dass der Fehler direkt am Bezugspunkt verschwindet, und dass der Fehler f (x) keine lineare Komponente enthält. Daraus folgt dass f(x)/|x-a| am Bezugspunkt ebenfalls verschwindet.
Die Approximation ist also für jeden Punkt der Urbildmenge der Funktion individuell zu berechnen.
Meine Leser mögen den unten zitierten binomischen Lehrsatz auf Potenzreihen anwenden, um bei einer gegebenen Approximation L in einem Punkt x0, die jeweils gültigen Näherungen an anderen Punkten x1 zu ermitteln.
Der binomische Lehrsatz besagt, dass die n-te Potenz einer zwei gliedrigen Summe als Summe von k gleich null bis n aller Produkte der k-ten Potenz von x0, der h-ten Potenz von x1, so dass k plus h jeweils n ergibt, und eines binomischen Koeffizienten ermittelt werden können. Den zu k und h passenden Wert dieses Faktors berechnet man als den Quotienten n!/(k! h!).
Tipp: Übersetzen Sie den Satz zuerst in die Sprache der Mathematik.
Wir fahren fort in der Darstellung der mathematischen Theorie.
Die Definition einer Potenzreihe kann auf zwei Veränderliche X und Y erweitert werden, indem man mit dem binomischen Satz, angewandt auf die Summe der Veränderlichen, die Koeffizienten für die Binome (X hoch k) mal (Y hoch h) berechnet.
Meine Leser mögen erstens dieses Verfahren schrittweise anwenden, um zu der Darstellung der Koeffizienten einer Potenzreihe in mehreren Veränderlichen zu kommen.
Zweitens zeigen Sie bitte, dass für die auf n Veränderliche verallgemeinerte Form der Potenzreihe P ebenfalls das Verfahren der linearen Approximation möglich ist, und stellen Sie die an einem Punkt a die dafür gesuchte lineare Abbildung L in Form einer Matrix J(P, a) dar.
Diese Matrix wird in mathematischen Fachliteratur als Jacobi-Matrix angesprochen.
Wie im Fall einer Veränderlichen, so ist es auch bei Potenzreihen in mehreren Veränderlichen möglich, ausgehend von einer bereits existierenden linearen Näherung die Jacobi-Matrix für einen anderen Punkt zu berechnen.
Als Beispiel für die Nützlichkeit unserer Begriffsbildung stellen Sie bitte die Geschwindigkeit eines Skiläufers als Jacobi-Matrix der Höhe über NN des befahrenen Hangs dar.
Die Jacobi-Matrix definiert für jeden Punkt a einer Funktion f ein Paar von Vektorräumen V(a) und W(f(a)). Diese Vektorräume bezeichnen wir als Tangentialräume.
Nicht um die komplizierten Berechnungen zu vereinfachen, sondern einer anschaulichen Begriffsbildung wegen definieren wir für einen festgehaltenen Punkt a im Urbild einer Funktion f in n Veränderlichen eine zusammengesetzte neue Funktion F mit verdoppelter Variablenzahl auf dem Kreuzprodukt des Urbildraumes U von f und dem entsprechenden Tangentialraumes durch F(a,v) = (f(a), J(f,a)(v).
Diese Konstruktion nennen wir ein Tangentialbündel der Funktion f. Der Punkt a heißt Grundpunkt, und den Tangentialraum bezeichnen wir als Faser.
Es ist wünschenswert, zwei Vektoren an verschiedenen Basispunkten zu vergleichen, um zum Beispiel zu definieren, unter welchen Voraussetzungen wir es als Parallelverschiebung sehen.
Die Frage nach der Parallelität ist zum Beispiel in der Physik von Bedeutung, wo nach Einstein die Gravitation in als Krümmung des Raumes interpretiert wird.
Mehr zu diesem Themenkreis können Sie unter den Rubriken Treffen und Kombinieren nachlesen.
Für die Menge der stetigen Funktionen auf einem offenen Intervall (a,b) in die Menge der reellen Zahlen benutzen wir die Symbolfolge C(a,b). Wie man leicht prüft, handelt es sich zugleich um einen Ring und um einen Vektorraum.
Um zu einer sinnvollen Topologie in C(a,b) zu kommen brauchen wir ein Maß für die Länge der Vektoren f, das wir durch Flächenmessung, genau genommen das Integral über das Quadrat der Funktion, bereitstellen werden.
Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und bil eine Abbildung von V x V nach K, so dass bil in beiden Komponenten linear und symmetrisch ist, sowie bil(v,v) stets größer oder gleich null ist. Des weiteren muss bil(v,v)=0 implizieren, dass v=0 ist.
Eine solche Abbildung nennen wir eine symmetrische, positiv definite Bilinearform.
Der Leser möge sich der Umstände vergewissern, damit das Riemann-Integral aus dem Mathematikunterricht in den Grenzen von a bis b über das Produkt zweier Funktionen genommen, mit der Definition der Länge als die Wurzel von b(v,v) eine geeignete Bilinearform darstellt.
Meine Leser mögen sich überzeugen, dass die Vektoren v,w, für die bil(v,w) = 0 gilt, sich in getrennten Untervektorräumen, die nur den Nullvektor gemeinsam haben, über demselben Körper befinden. Wir sprechen von dem orthogonalen Komplement.
Bei endlicher Dimension erweist sich die Komplementbildung als eine Spiegelung, die keinen Zuwachs der Dimension bringt. Nimmt man dagegen zweimal das Komplement des Unterraums der Polynome in C(a,b), so erhält man bereits den ganzen Vektorraum C(a,b).
Der Beweis ist nicht trivial. Er wird mit dem Approximationsatz von Weierstraß über die Konvergenz von Polynomen zu stetigen Abbildungen geführt.
Wir fassen nun die Aufgabe, eine Funktion f zu approximieren, allgemeiner: Die Funktion f sei Element eines Vektorraumes V, in dem eine Länge definiert ist. U sei eine Teilmenge von V. Gesucht ist ein Element hU, so dass für alle gU Lng(f-h) kleiner oder gleich Lng(f-g) ist.
Die Funktion h wird als beste Approximation an f bezüglich U bezeichnet.
Man möge an Hand eines Gegenbeispiels aufzeigen, dass für die stetigen Funktionen auf dem abgeschlossenen Einheitsintervall in der Teilmenge U = {gC(0,1): g(x)=exp(s x) mit s>0} nicht in jedem Fall eine beste Approximation existiert.
Ist der dargestellte, mathematische Werkzeugkasten auch geeignet, beliebige Abbildungen zu messen?
Meine Leser mögen die Abbildung f betrachten, die wie folgt definiert ist: f(x) =0, wenn x eine rationale Zahl ist und f(x) = 1, wenn x irrational ist. Versuchen Sie die Fläche unter der Kurve im Intervall von null bis eins zu bestimmen.
Wir stellen fest, dass das aus dem Schulunterricht bekannte Riemann-Integral zu diesem Zweck nicht geeignet ist, und wir werden deshalb die Lesbeguesche Form des Integrals als erweitertes Konzept einführen. Um Inhalte zu messen zu können, definieren wir ein im Vergleich zu einer Topologie etwas abgewandeltes Mengensystem B auf einer Grundmenge G durch folgende Axiome:
Die leere Menge ist in B.
A € B impliziert (G-A) € B
A1 € B und A2 € B impliziert (A1 geschnitten mit A2) € B
Für ein abzählbares Untermengensystem A(i), wobei i die natürlichen Zahlen durchläuft, ist die Vereinigungsmenge ein Element von B.
Ein solches Mengensystem B ist in der mathematischen Literatur als Borelscher Mengenkörper bekannt. Im Vergleich zu der Definition einer Topologie, wo es um offene und abgeschlossene Umgebungen geht, ist ein Borelsches System unipolar angelegt, da das Komplement eines jedes Mitgliedes ebenfalls dazu gehört.
Die Elemente in B als messbare Mengen bezeichnet. Wir überlegen nun, welche Eigenschaften ein reelles Maß µ, mit dem wir Inhalte wie Fläche und Volumen messen wollen, erfüllen sollte:
Positivität: Für jede messbare Menge M soll µ(M) größer oder gleich null sein.
Monotonie: Wenn A eine messbare Teilmenge der ebenfalls messbaren Menge B ist, dann soll µ(A) kleiner oder gleich µ(B) sein.
Additivität: Für messbare Mengen C und D mit leerem Durchschnitt soll µ(C vereinigt mit D) = µ(C) + µ(D).
Regularität: Zu jeder positiven reellen Zahl d und jeder messbaren Menge M gibt es eine offene Umgebung U, die M enthält, so dass die Differenz µ(U)-µ(M) < d.
Meine Leser mögen beim Lesen der ersten Bedingung beachten, dass µ(M) = 0 nicht impliziert, dass M leer ist. Die letzte Bedingung stellt die Stetigkeit der Abbildung µ sicher und garantiert, dass das Maß µ einer jeden messbaren Menge durch eine Folge von Messungen offener Umgebungen ermittelt werden kann.
Wir wollen nun die Mengen charakterisieren, denen das Maß null zugeordnet wird.
Aus der Eigenschaft der Regularität mögen meine Leser herleiten, dass Mengen, deren Inneres leer ist, genau die Nullmengen sind.
Wenn man Funktionen misst, indem man die Fläche unter der Kurve berechnet, dann spielt das Verhalten der Funktion auf einer Nullmenge keine Rolle für die Berechnung.
Meine Leser mögen zeigen, dass die rationalen Zahlen eine Nullmenge in den reellen Zahlen darstellen.
Daraus schließen wir dann, dass das Lesbegue-Integral der oben erwähnten Funktion f, die für rationale Punkte den Wert null annimmt und sonst eins ist, über das Intervall von null bis eins genommen, den Wert eins besitzt.
Wir wenden uns nun der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik zu, die man als Anwendungen der Maßtheorie betrachten kann. Hier wird mit normierten Maßen P gemessen, die auf dem vollen Ereignisraum die Wahrscheinlichkeit eins annehmen. Man bezeichnet P(A) als Wahrscheinlichkeit einer Menge A. Vorausgesetzt wird weiterhin, dass ein Borelschen Mengenkörper B definiert ist. Die Elemente von B bezeichnen wir als Ereignisse.
Zwei Ereignisse C und D werden unabhängig genannt, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge als das Produkt P(C) P(D) zu berechnen ist.
Meine Leser mögen sich überlegen, ob die Ereignisse beim Werfen einer Münze beziehungsweise bei der Ziehung der Lottozahlen voneinander unabhängig sind.
Wir interessieren uns für Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter verschiedenen Vorbedingungen und definieren die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Prämisse, dass ein anderes Ereignis B bereits eingetreten ist; P(A|B)=P(A geschnitten B) / P(B).
Wenn A und B unabhängig sind, gilt P(A|B) = P(A).
Ein Wahrscheinlichkeitsmodell bildet die Wirklichkeit statisch oder dynamisch in die reellen Zahlen ab. Die Komponenten einer solchen Abbildung werden zufällige Variablen genannt. Als Invarianten dieser Funktionen berechnet man den Mittelwert und die quadratische Streuung . Zu zwei gegebenen zufälligen Variablen misst der Korrelationskoeffizient den Grad der Unabhängigkeit.
Je nach Kardinalzahl des Ereignisraumes eines probabilistischen Modells sprechen wir von diskreten, abzählbaren und stetigen zufälligen Variablen.
Um zu entscheiden, ob eine bestimmte Kombination zufälliger Variablen als Modell sich in der Praxis als hilfreich qualifiziert hat, kann an Hand der abstrakten Theorie allein nicht bewertet werden. Es ist auch nicht zu erwarten, dass die Frage nach der Richtigkeit klar mit ja oder nein zu beantworten ist, sondern man wird nur auf Grund eines Vergleiches vorliegender Beobachtungen mit der Theorie über die Wahrscheinlichkeit urteilen können, dass eine bestimmte Hypothese des Modells zutrifft.
Wir betrachten nun die Verhältnisse bei n-maliger Wiederholung eines binären Versuches mit den Ergebnissen null und eins mit den Wahrscheinlichkeiten p und q=(1-p).
Meine Leser mögen an Hand des binomischen Lehrsatzes die Häufigkeitsverteilung für die Anzahl des Auftretens der Ziffer eins im Ergebnisprotokoll des mehrfachen binären Versuches ermitteln.
Wir nennen diese Verteilung der Häufigkeiten Binomialverteilung. Wenn q sehr klein im Vergleich zu p ist, dann konvergiert sie zu einer Poisson-Verteilung. Wenn die Anzahl der Versuche hinreichend groß ist, dann erhalten wir eine normalverteilte zufällige Variable.
Den Lesern stellen wir die Aufgabe, die folgende Beobachtung beim Testen eines mechanischen Zufallsgenerators, der bei jeder Ziehung sieben aus neunundvierzig Kugeln entnimmt, wahrscheinlichkeitstheoretisch zu bewerten: Die Kugel mit der Nummer sechsundzwanzig sei bei mehr als hundert Ziehungen keins einziges Mal als erste gezogen worden.
Sie sollten sich den Grenzwertsatz von Moivre und Laplace anschauen und die Güte der Approximation beurteilen, die sich daraus bei der praktischen Berechnung der Binomialkoeffizienten ergibt. Die entsprechende Formel können Sie zum Beispiel dem Taschenbuch Mathematischer Formeln entnehmen.
Wir stellen zum Schluss dieses Kapitels die Kategorisierung als
mathematische Methode vor, mit der man Begriffe und Konzepte verallgemeinern kann. Man fragt, ob ein Verfahren oder ein Beweis auch mit weniger vorab gestellten Bedingungen durchgeführt werden kann. Der Klarheit der Konzepte wegen wird ein Minimum an Voraussetzungen angestrebt.
Dementsprechend werden wir die Kategorie der topologische Räume als Objekte und Morphismen charakterisieren.
Die Gesamtheit der betrachteten Objekte ist eine zulässige Aggregation von Mengen. Wir erinnnern uns, dass wir bei bei der zweiten Zusammenfassung nicht mehr von einer Menge, sondern von einer Klasse der Objekte sprechen müssen. Die Morphismenmenge zwischen zwei Objekten besteht aus strukturverträglichen Abbildungen. Die Morphismen angrenzender Mengen - das sind solche Abbildungen bei denen das Bild der ersten Menge das Urbild der zweiten darstellt - lassen sich assoziativ verknüpfen, und es gibt ein zweiseitiges neutrales Element n bezüglich dieser Verknüpfung.
Die Objekte der Kategorie Top sind Paare (X,T), wobei X eine beliebige Menge ist und T eine Topologie auf X ist. Als Morphismen sind stetige Abbildungen definiert.
Dem Leser sei erstens die Aufgabe gestellt, für die Kategorie Top die Aussagen bezüglich der Verknüpfung zu verifizieren, zweitens die Kategorie der Mengen zu definieren und drittens die Frage zu beantworten, ob eine Kategorie der Kategorien mit den mathematischen Grundsätzen vereinbar ist.
