Wir werden jetzt die Elemente einer Menge als geometrische Punkte deuten. Eine Menge A stellt eine affine Geometrie mit einer Norm dar, wenn es einen Vektorraum V mit einer positiv definiten, bilinearen Form bil gibt, so dass je zwei Punkten p und q aus A ein Vektor vek(p,q) aus V zugeordnet ist, für die folgenden Axiome gelten:
Wenn p€A und v€V dann gibt es einen Punkt q, so dass vek(p,q) = v ist.
vek(p,q) + vek(q,r) = vek (p,r).
Die Länge eines Vektors v berechnet man als die Wurzel von bil(v,v).
Der folgende Film zeigt die jeweils aus drei Eulerschen Winkeln zusammen gesetzte Drehung zweier Würfel im dreidimensionalen affinen Raum:
Der Winkel alpha, den zwei Vektoren v und w einschließen, ist wie folgt zu berechnen:
cos (alpha) = bil(v,w) /Wurzel( bil(v,v) bil(w,w)).
Gegeben sei eine Punktmenge M in einem affinen Raum. Wir sprechen von einer konvexen Menge, wenn zu je zwei Punkten auch die Punkte der Verbindungsstrecke zu M gehören.
Von einer Affinität zweier geometrischer Szenarien spricht man, wenn es eine lineare Abbildung L des zu Grunde liegenden Vektorraumes auf sich selbst gibt, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Wir beschäftigen uns nun mit einem wichtigen Typ dieser Art, nämlich den Drehungen.
In einem dreidimensionalen affinen Raum über dem Körper der reellen Zahlen betrachten wir eine Drehung als 3x3-Matrix
1 0 0
0 cos(a) sin( a)
0 -sin(a) cos(a)
dargestellt. Wir setzen z= cos(a) + i sin(a) und können diese Drehung in der komplexen Ebene durch die Exponentialfunktion beschreiben: z -> exp(2 pi i z).
Um die Kombination einer Drehung und einer Streckung zu beschreiben, nehmen wir eine positive reelle Zahl r als Faktor hinzu: z -> r exp(2 pi i z).
Meine Leser mögen die reelle Matrixdarstellung M (a,r) einer kombinierten Drehstreckung ermitteln.
Eine Abbildung f von einem reellen oder komplexen affinen Raum in einen anderen ist in einer Umgebung U des Punktes p durch eine lineare Abbildung approximierbar, wenn vek (f(p),f(q))= L(vek(p,q)) + R(vek(p,q)) ist, wobei die Fehlerfunktion R keinen linearen Anteil besitzt. Das prüft man nach, indem man zeigt, dass R(vek(p,q))/Länge (vek(p,q)) für p=q verschwindet.
Eine stetige Mannigfaltigkeit M ist ein topologischer Raum, so dass erstens für jeden Punkt x aus M eine offene Umgebung Ux und eine bijektive Abbildung fx von Ux in den den R hoch n oder C hoch n existiert, und zweitens jede Abbildungskombination( fx ° invers(fz)) stetig ist, wenn Ux geschnitten mit Uz nicht die leere Menge darstellt.
Diese Paare (U,f) bestehend aus offenen Mengen in M und Abbildungen von U nach R hoch m werden als Karten der Mannigfaltigkeit bezeichnet. Wenn die Vereinigung der Umgebungen Ui über alle Karten gleich M ist, dann nennen wir die betreffende Kartenmenge vollständig oder einen Atlas.
Der Leser zeige, dass die Menge der Punkte des R hoch m, die genau den Abstand eins vom Ursprung besitzen, eine Mannigfaltigkeit darstellt.
Des Weiteren zeige der Leser, dass durch die Äquivalenzklassen des Vektorraumes R X R bezüglich zweier linearer Abbildungen p und q mit p(x+x1,y) = p(x,y) und q(x,y+y1)=q(x,y) mit der Relation (x,y) ~ (u,z) genau dann wenn (x.y) =p(u,y) und (x,y) = q(x,z) ist, topologische Mannigfaltigkeit definiert werden.Wir nennen diese Mannigfaltigkeiten Tori mit den Perioden x1 und y1.
Zeigen Sie, dass das Produkt der eindimensionalen Sphäre S1 x S1 umkehrbar stetig auf jeden Torus abgebildet werden kann.
Wir sprechen von einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit, falls es einen Atlas gibt, so dass für je zwei Karten (U1,f1) und (U2,f2) die kombinierte Abbildung (invers(f1) ° f2) differenzierbar ist.
Wir machen das mengentheoretische Produkt V x W zweier Vektorräume über demselben Körper K zu einem K-Vektorraum, indem wir die Addition und Skalarmultiplikation wie folgt definieren: (v1,w1) + (v2,w2) = ( v1+w1,v2+w2) und k (v,w) = (kv,kw).
Der Leser überzeuge sich, dass die algebraischen Regeln für einen Vektorraum über dem Körper K erfüllt sind.Den neuen Vektorraum bezeichnen wir als direkte Summe der beiden Komponenten. Die Dimension eines Vektorraumes definieren wir als Kardinalzahl eines minimalen Erzeugendensystems.
Der Leser möge zeigen, dass die direkte Summe dreier Kopien des reellen Zahlenkörpers ein dreidimensionaler Vektorraum ist. Welche Dimension ist den komplexen Zahlen als Vektorraum über dem reellen Zahlenkörper zuzuordnen? Welche Dimension ist den reellen Zahlen als Vektorraum über dem rationalen Zahlenkörper zuzuordnen?
Ein interessantes Produkt, das in der Physik die Art der Kopplung zweier Photonen beschreibt, die bei der Vernichtung eines Elementarteilchens mit seinem Antiteilchen erzeugt werden, werden wir nun durch eine sogenannte universelle Eigenschaft definieren. Wir bezeichnen es als das Tensorprodukt zweier Vektorräume V und W über einem gemeinsamen Körper: Es soll die Eigenschaft haben, dass jedes Paar linearer Abbildungen (f,g) von P=(VxW) in einen beliebigen dritten Vektorraum U über K sich in umkehrbar eindeutiger Weise in eine Abbildungsfolge, zuerst h und dann k anwenden, zerlegen lässt, wobei wir die lineare Abbildung h von VxW nach T =(V tensoriert W) als Tensorprodukt der Abbildungen (f,g) bezeichnen.
Wir skizzieren den Beweis der Existenz des Tensorproduktes und betrachten zu diesem Zweck nicht nur die linearen, sondern sämtliche Abbildungen der Menge VxW nach K, die überall mit der Ausnahme von endlich vielen Stellen den Bildwert null aufweisen. Wir bezeichnen sie mit A. Die Menge A erfüllt die Regeln eines Vektorraumes über dem Körper K. Die Teilmenge B der Abbildungen, deren Bild nur an einer Stelle die Zahl eins und sonst überall null ist, erzeugt A als Vektorraum über K. Jedem Vektor aus dem Produkt VxW kann also eindeutig eine Abbildung aus B zugeordnet werden. Das Erzeugendensystem B erfüllt aber nicht die Vektorraumregeln. Deshalb kommen wir zum Tensorprodukt und zur Definition der Abbildung h, indem wir in A zu den Klassen einer geeigneten Äquivalenzrelation R übergehen.
Der Leser erweitere die Definition des Tensorproduktes auf die Situation, dass der Körper K nicht für jedes Element ein Inverses enthält. Wir sprechen dann von einem Ring, und an Stelle von Vektorräumen sprechen wir von Moduln über diesem Ring.
Und wir werden jetzt noch ein Produkt aufbauend auf dem p-fachen Tensorproduktes eines Vektorraumes V (V tensoriert …. tensoriert V) kennen lernen: Sei wiederum U ein beliebiger Vektorraum über K. Eine p-fach lineare Abbildungf von (V x x V ) nach U nennen wir alternierend, wenn das p-fache Tupel(f(v1), …., f(vp)) genau dann den Nullvektor darstellt, wenn mindestens zwei der Vektoren v1 bis vp identisch sind.
Der Leser zeige, dass das aus der Physik bekannte Vektorprodukt im dreidimensionalen reellen Raum aus der für die Dimension p gleich drei eindeutigen alternierenden linearen Abbildung hergeleitet werden kann.
Eine multilineare Abbildung des p-fachen Produktes eines Vektorraumes der Dimension p in den zu Grunde liegenden Körper nennen wir eine Determinantenfunktion.
Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M heißt orientierbar, wenn es eine Determinantenfunktion D auf einem Atlas A von M gibt, so dass für je zwei Umgebungen Ux und Uy D(fx ° invers(fy)) positiv ist.
Teichmüllersche Räume
Eine Abbildung heißt winkeltreu, wenn an jedem beliebigen Schnittpunkt zweier Geraden die Winkel im Urbild und im Bild gleich groß sind. Mit der Teichmüller-Theorie beschaffen wir uns eine Möglichkeit, lokal den Grad der Abweichung einer Abbildung in Bezug auf die Winkeltreue zu bestimmen.
Die komplex gebrochen rationalen Funktionen der Form (az +b) / (cz+d), die auch Moebiustransformationen genannt werden, sind an jedem Punkt der zweidimensionalen Sphäre winkeltreu. Quasikonforme Abbildungen, die wir betrachten werden, sind zwar reell differenzierbar, aber ihre reelle Jacobi-Matrix kann nicht für jedes Achsenpaar in eine komplexe Zahl verwandelt werden, wie es die Beltramischen Differenzialgleichungen für die Differenzierbarkeit im Komplexen verlangen.
Der Teichmüllerraum an einem Punkt einer komplex differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist definiert als Menge der Äquivalenzklassen in GL(2n,R) bezüglich der Relation ~, wobei A ~ B genau dann erfüllt ist, wenn ein C € GL(n,C) existiert, so dass A = B C.
Wir bestimmen nun zuerst den Teichmüllerraum einer Kreisscheibe, eines Kreisring und eines Moebiusbandes in der komplexen Ebene. Dann schauen uns die Situation bei den Flächen des Geschlechtes eins an. Das sind Torus und Kleinsche Flasche. Bei den orientierbaen Flächen höheren Geschlechtes beweisen wir, dass ihr Teichmüllerraum homöomorph zu einem Gebiet im C hoch n ist, wobei n=3 g -3. Schließlich werden wir die nicht orientierbaren Flächen analysieren.
Dann wenden wir unsere Kenntnisse auf neuronale Netzen an und fragen, wie eine zielgerichtete Bewegung erlernt und optimiert wird.
