Wir betrachten das Gebiet der neuronalen Netze. Die Struktur eines beliebigen neuronalen Netzes ist durch den Grafen vorgegeben, der aus den Neuronen als Punkten und den Informationsflüssen als Verbindungen besteht. Für jede Verbindung wählen wir ein Zeichen und sein inverses aus. Die Menge der Zeichen nennen wir Alphabet.
Das einfachste Gebilde dieser Art besteht aus einem Neuron ohne Verbindungen. Mathematisch gesehen ist der entsprechende Graf ein singulärer Punkt. Das Alphabet ist leer.
Ein Baum ist ein neuronaler Komplex mit der Eigenschaft, dass mit einer Ausnahme jedes Neuron darin einen eindeutig definierten Vorgänger besitzt. In einem Baum gibt es stets einen direkten Weg zur Wurzel. Das ist der Ausnahmepunkt.
Der Leser möge die möglichen geschlossenen Wege auf einem Baum bestimmen und sich mit den Auswirkungen auf die Bezeichnungen der Wege nach einem Wechsels der Wurzel auseinander setzen.
Wenn ein Weg auf einem Grafen ein inverses Streckenpaar enthält, das unmittelbar aufeinander folgt, ist es sinnvoll, dieses zu streichen. Im Gegenzug erlauben wir dann auch wieder das Einfügen eines solchen Paares. Die Ausführung dieser beiden Operationen, eventuell mehrfach hintereinander und mit verschiedenen Buchstaben ausgeführt, definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Wege eines Grafen. Wir nehmen das jeweils kürzeste Wort als Repräsentanten einer Äquivalenzklasse.
Die Menge der Kurzworte, geschrieben in den nach Entfernung des Baumes übrig gebliebenen Symbolen und deren inversen, ist die freie Gruppe zu dem definierten Rang.
Wir betrachten nun zwei neuronale Netze N und M in einem Kreis geschaltet, deren Aktivitätswahrscheinlichkeit zu einem Zeitpunkt t wir mit A(t) beziehungsweise B(t) bezeichnen. Wir setzen voraus, dass die Veränderung der Wahrscheinlichkeiten jeweiis eine lineare Funktion in den Parametern A(t) und B(t) ist. Die zeitlichen Veränderungen der Funktionen A und B notieren wir als Ableitungen A' und B'. Nach den Regeln der Differenzialrechnung gilt:
A' = b A + d B (1)
B' = p A + q B (2)
Diese Gleichungen können als Aussagen über die zeitlichen Veränderungen der
Konzentrationen der Transmitter A und B interpretiert werden. Die Zahlen b, d, p und q sind reelle Konstanten.
Aus (1) leiten wir ab:
d B = A' - b A (3)
und d B' = A'' - b A' (4)
Aus (2) leiten wir durch Multiplikation mit d ab: d B' = d p A + d q B (5)
Wenn wir (4) und (5) vergleichen, erhalten wir:
A'' - b A' = d p A + q d B
Nun ersetzen wir das Produkt d B durch die rechte Seite von (3):
A'' - b A' = d p A + q (A '- b A)
Wir lösen die Klammer auf
A'' - b A' = d p A + q A' – q b A
und bringen alle Terme auf die linke Seite:
A'' - b A' – q A' – d p A - q b A= 0
Wir vereinfachen:
A'' - -(b + q) A' + (d p - q b) A = 0
Die Lösung ist eine gedämpfte Schwingung, wobei die Dämpfung durch die Eigenstimulation der beiden Nervenknoten bedingt ist und das Frequenzquadrat durch das die Determinante gegeben ist.
Wir charakterisieren in dieser Weise nun die Bewegungen des Hüft-, Knie- und Fußgelenkes bei einem Halbschritt:
Der Oberschenkel wird zunächst kontrolliert nach vorne gebracht. Die dadurch verursachte Pendelbewegung des Unterschenkels wird durch einen Impuls verstärkt. Der sich nach vorn verlagernde Körperschwerpunkt sorgt dann für das Aufsetzen der Ferse auf den Boden. In der letzten Phase eines Halbschrittes wird die Fußsohle auf dem Boden abgerollt.
Im Stand sei der Winkel f am Fußgelenk PI/2 in Bezug auf den gestreckten Körper. Die Winkel k und h zur Senkrechten am Knie- und Hüftgelenk sind null. Wir haben also bei der Ausführung eines Halbschrittes drei Winkel des Raumes mit geeigneten Nebenbedingungen zu kombinieren.
Meine Leser mögen die Lösung der Bewegungsgleichung als erzwungene Schwingung des Unterschenkels am Kniegelenk bestimmen.
Diese Bewegung des Unterschenkels erfolgt mit einer Frequenz von Wurzel(dp-qb), phasenverschoben zum Rythmus der Stimulanz um einen Winkel Delta, der von dem Maß der Dämpfung, also (b+q) abhängt. Bei einem Spaziergang auf ebenen Gelände sollte das Maß der Dämpfung ein Minimum erreichen.
Im folgenden legen wir einige Voraussetzungen fest, um die mathematische Theorie sinnvoll auf reale neuronale Systeme anwenden zu können.
Das zentrale Nervensystem des Menschen ist in zwei Hälften geteilt, die durch eine Brücke miteinander kommunizieren. Die äußere Hülle beider Seiten bilden jeweils vier Lappen der Großhirnrinde, die vielfach gefaltet sind.
Die neuronalen Zellkörper befinden sich an der Oberfläche der Lappen. Die nächste Schicht darunter enthält Nervenfasern, die hauptsächlich für die Signalisierung benachbarter Bereiche zuständig sind. Der Verlauf einiger Fasern führt in die Tiefe und bildet ein sich verjüngendes Bündel, das zu den übrigen Hirnstrukturen hin ausstrahlt.
Ein sich verjüngendes Nervenbündel kann mathematisch logisch als ein Maß interpretiert werden, für das es Funktionen gibt, die im Sinne eines Lesbeque-Integrals inhaltlich bestimmbar sind.
Den topologischen Raum hat man sich als Tangentialbündel einer Mannigfaltigkeit vorzustellen. Das mathematische Konzept eines Tangentialbündels ist so beschaffen, dass es die Verhältnisse in einer flächenhaften neuronalen Struktur beschreibt. Die Tangentialvektoren einer neuronalen Fläche können als Ableitungen einer komplexen Funktion entlang parametrierter geschlossener Wege dargestellt werden. Der Funktionswert ist zum Beispiel die messbare elektrische Polarinsation an einem Ort. Wir fragen lokal erstens nach der Kardinalzahl der Menge der unabängigen erzeugenden Vektoren unserer Algebra und nach der linearen Abbildung, die ein gegebenes neuronales Phänomen approximiert.
Global ist es bei neuronalen Phänomenen von Interesse, wie die Drehkomponenten t und die Streckungskomponenten r, die jeweils eine approximierende lineare Abbildung der Form r exp(2 pi i t) lokal beschreiben, sich als Kartenparameter komplexer Mannigfaltigkeiten interpretieren lassen. Dabei stellt sich die Frage, wieviele verschiedene komplexe Strukturen es dort gibt. Damit wenden wir die Teichmüllersche Theorie an, um Phänomenen, die mit Denken, Lernen und Verhalten einhergehen, analytisch näher zu treten.
Es ist zu untersuchen, inwieweit das Phänomen des bewussten dreidimensionalen Raumerlebnisses bei einem neuronalen Netz hinreichender Größe und Komplexität auf Eigenschaften des Teichmüller-Raumes zurück geht, dessen Dimension als komplexe Mannigfaltigkeit stets ein Vielfaches der Zahl drei ist.
Die Bewegungsoperatoren für erlernte Bewegungen des Körpers durch die eigene Muskelkraft werden von dem oben erwähnten Faserbündel und den beiden blassen Kernen als symmetrische oder hermitesche Matrizen erzeugt. Es gilt der Satz, dass auf der Grundlage einer kommutativen Banach-Algebra B über den komplexen Zahlen die Menge der stetigen Funktionen auf dem Spektrum dieser Algebra isometrisch auf die ursprüngliche Banachalgebra selbst abbgebildet werden kann.
Wie man weiß, können die lokalen Verhältnisse in Bezug auf die Polarisation einer biologischen Nervenzelle einfach und zutreffend durch die Dichte der Kaliumionen außen auf der Zellwand beschrieben werden. Bei maximaler Besetzung an einer bestimmten Stelle beobachten wir dort ein Ruhepotential von etwa 0,06 Volt, wobei der positive Pol sich außen befindet.
Bricht der Verband der Kaliumionen irgendwo auf, dann können dort zuerst kleinere Natriumionen von außen nach innen gelangen. Durch deren positive Ladung sinkt das Ruhepotenzial unter einen kritischen Wert, so dass sich Kanäle öffnen, durch die schließlich auch die voluminöseren Kaliumionen ins Innere strömen. Den Regeln eines schwingungsfähigen Systems entsprechend, entsteht zunächst ein Überschuss von positiver Ladung von etwa 0,04 Volt im Inneren Zelle.Um den Ruhezustand wieder herzustellen, produziert die Nervenzelle negative Ladungsträger, also Elektronen.
Biologische Netze organisieren nach zwei Kriterien: Das erste ist die Topologie, also die Nähe und Nachbarschaft, deren Struktur in der Erbsubstanz DNA beschrieben ist, und an zweiter Stelle stehen die physiologischen Gegebenheiten des Stoffwechsels. Der grundlegende Zyklus des neuronalen Stoffwechels ist die Bereitstellung von Energie.
Die Verschaltung der Neuronen und Ganglien, die im Gehirn des Menschen die Steuerung von Bewegung vornehmen, können Sie der folgenden Grafik entnehmen, die Sie in hoher Auflösung auf Ihren Computer herunter laden können.
Das System der basalen Ganglien, bestehend aus dem Putamen, dem Pallidum, der Substantia nigra und dem Nucleus subthalamicus koordiniert die Bewegungsabläufe.
Bei Veränderungen des neuronalen Stoffwechsels in diesem Bereich treten Bewegungsstörungen auf.
Die drei Hauptsymptome der Parkinsonschen Krankheit werden als Rigor, Tremor und Akinese bezeichnet. Der Rigor äußert sich durch eine erhöhte Muskelspannung, die zur Verlangsamung der Bewegungen führt. Der Tremor ist ein Zittern, wobei in erster Linie die Hände in der Ruhephase betroffen sind. Unter den Begriff Akinese werden die Phasen der Unfähigkeit der Patienten verstanden, sich fort zu bewegen.Diese drei Kardinalsymptome wurden von James Parkinson, einem nieder gelassenen Arzt in London, beobachtet und in einem Aufsatz beschrieben, den er im Jahre 1817 veröffentlichte. Bei dem Krankheitsbild des essentiellen Tremors ist anders als bei der Parkinson-Krankheit ein Zittern der Glieder im Verlauf der Bewegung zu beobachten.Die Erkrankung, die im Volksmund als Veitstanz bezeichnet wird, ist durch unwillkürliche Überbewegungen sämtlicher Muskeln des Körpers des Patienten charakterisiert.
Die Therapie bei Morbus Parkinson soll die mangelnde Wirkung des Transmitters Dopamin an den Synapsen des Putamens normalisieren. Dieses Ziel kann auf verschiedenen Wegen erreicht werden:
Als erstes ist die orale Gabe der Aminosäure L-Dopa kombiniert mit einer geeigneten Substanz zu nennen, um zu verhindern, dass L-Dopa vorzeitig zu Dopamin metabolisiert wird; denn diese Umwandlung darf erst in der dopaminergen Zelle geschehen.
Als zweites Standbein einer erfolgreichen Therapie hat sich die Behandlung mit Dopaminagonisten erwiesen; denn die Halbwertzeit einer L-Dopa-Medikation ist zu kurz, um eine den Tag über möglichst gleichmäßige Stimulation der Zielneuronen zu erreichen. Die Verabreichung dieser Medikamente ist meistens oral, kann aber auch perkutan als Pflaster oder als subkutane Injektion verabreicht werden.
Dritten stehen für die orale Therapie mehrere spezifisch wirkende Hemmstoffe zur Verfügung, die entweder den Abbau des Dopaminmoleküls verzögern oder seinen Gegenspieler in den basalen Ganglien, also Glutamat, vermindert zur Wirkung kommen zu lassen.
Last not least ist die chirurgische Maßnahme der Tiefenhirnstimulation zu nennen, die an den komplementären Hirnstrukturen des Transmitters Dopamin eingreift, und vor allem das Gleichgewicht zwischen Dopamin- und Glutamatwirkung entscheidend verbessert.
Dopamin kann an fünf bekannten Rezeptortypen andocken. Während die Besetzung der D1-Rezeptoren durch ein Molekül dieses Transmitters abhängig von einem mittleren Wert sowohl stimulierend als auch hemmend wirken kann, werden durch den D2-Rezeptor zellinterne Prozesse angestoßen, die die Geschwindigkeit des Stoffwechsels postsynaptisch verändern. Es sei bemerkt, dass der D2-Typ von den Dopamin produzierenden Zellen als Autorezeptor verwendet wird, um zu signalisieren, wann die dopaminerge Erzeugungskette gedrosselt werden kann.
Die Steuerung der Neuronen in der substantia nigra erfolgt, indem freigesetztes Dopamin aus dem synaptischen Spalt wieder aufgenommen wird. In der Zelle wird dieser überschüssige Transmitter mit Hilfe des Enzyms Monoaminooxidase zu Dopa-Essigsäure metabolisiert. Durch die Senkung des pH-Wertes wird präsynaptisch die Geschwindigkeit des Stoffwechsels dadurch verändert. Die Zellen der substantia nigra sind daher zur parametrischen Resonanz fähig.
Tremor entsteht durch kleine wiederholende Bewegugen, die bei essentiellem Tremor vermutlich direkt im Thalamus erzeugt werden. Ruhetremor entsteht nach unserer Modellvorstellung dagegen dann, wenn die basalen Ganglien, hier insbesondere die Neuronen im globus pallidus pars medialis, infolge mangelnder Hemmung über die Dopamin D1-Rezeptoren störende Rückkopplungen generieren.
Bevor wir damit beginnen können, über mögliche Ursachen einiger neurologischer Erkrankungen zu diskutieren, wollen wir die Mechanismen verstehen, die durch Wachstum zur Annäherung der Fasern zweier neuronaler Strukturen führen. Wir gehen davon aus, dass die präsynaptische Struktur periodische Signale emittiert, indem jeweils kleine Mengen bestimmter Botenstoffe in das verbindende Medium ausgeschüttet werden.
Von einer punktförmigen präsynaptischen Struktur geht ein wellenförmiges Signal in Bezug auf die Transmitterkonzentration aus, dessen Gradient der postsynaptischen Struktur die Wachstumsrichtung vorgibt, die schließlich zur Berührung der Fasern und zur Synapsenbildung führt. Dieses Signal kann postsynaptisch zum Beispiel durch Enzyme modifiziert werden, so dass die präsynaptischen Fasern ebenfalls über eine Möglichkeit der Orientierung verfügen.
Wir werden im folgenden diese Hypothese an Hand der dopaminergen Strukturen in den basalen Ganglien weiter entwickeln.
Nun folgen einige Bemerkungen biochemischer Art:
Wir betrachten Aminosäuren, die ein Kohlenstoffatom enthalten, das an je einer der vier Bindungsmöglichkeiten eine COOH-Gruppe und eine NH2-Gruppe trägt. Eine dritte Bindung wird durch ein Wasserstoffatom besetzt, und an der vierten sitzt eine Substanz, die der Aminosäure den Namen gibt.
Mehrere Moleküle nicht notwendig verschiedener Aminosäuren können sich zu einer Peptidkette zusammenschließen, indem jeweils eine NH2- und eine COOH- Gruppe sich verbinden, und ein Molekül H2O ausgeschieden wird.
Um den Stoffwechsel in einem lebenden Organismus zu verstehen, ist es wichtig, den pH-Wert einer wässrigen Lösung zu kennen, für den eine bestimmte Aminosäuren exakt neutral reagiert. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit , dass seitens der Aminogruppe ein OH-Ion dissoziiert wird, genau so hoch ist wie die Wahrscheinlichkeit, dass die COOH-Gruppe ein Proton frei setzt.
Das Molekül L-Dopa, das einen Präkursor des Transmitters Dopamin darstellt, wird durch das Enzym Descarboxilase in einem Neuron zu Dopamin metabolisiert. Normalerweise synthetisiert die dopaminerge Zelle L-Dopa aus Phenylalanin in zwei Schritten. Bei der Parkinson Krankheit ist jedoch der zweite davon gestört, so dass ein funktionstüchtiges Neuron der Zufuhr des L-Dopa von außen bedarf.
Aus der Physiologie ist ein zyklisches Transportsystem für neutrale Aminosäuren und Doppelpeptide bekannt, das den Transfer dieser größeren Moleküle durch eine Membran bewerkstelligt. Die Voraussetzung der Neutralität kann vermutlich so gedeutet werden, dass eine bestimmte Bandbreite der Dipolarität zwar möglich ist; es bekommen also Aminosäuren und Peptide um so eher einen Platz, je kleiner die Wahrscheinlichkeit der Dissoziation ist.
Wir wollen nun durch ein Gedankenexperiment testen, ob diese Vermutung plausibel ist. Dazu betrachten wir die Tätigkeit des Enzyms Monoaminooxidase:
Die Monoaminooxidase wird in der dopaminergen Zelle aktiv, wenn der pH-Wert des Plasmas basisch wird. Dann wird jeweils eine Aminogruppe (-NH2) eines im Zellplasma befindlichen Stoffes durch eine Säuregruppe (-COOH) ersetzt. Die so gebildete saure Verbindung neutralisiert zusätzlich ein weiteres Molekül eines NH2-haltigen Metaboliten zu einem neutralen Stoff, der abtransportiert werden kann, und zwar zunächst durch die Zellmembran und dann durch die Blut-Hirn-Schranke in den venösen Blutkreislauf.
Bei größeren Mengen der beteiligten Aminosäuren, wie es bei der Medikation mit L-Dopa der Fall ist, können diese biochemischen Vorgänge aus dem Gleichgewicht geraten.
Wir wollen hier demnächst verschiedene Methoden der Behandlung der Parkinson-Krankheit diskutieren, um den Transport der Metaboliten zu gewährleisten.
